Class Interval वा वर्ग अन्तराल भन्नाले तथ्याङ्कलाई निश्चित समूह (वर्ग) मा विभाजन गरेर प्रस्तुत गरिएको अन्तराललाई जनाउँछ। जस्तै 0–10, 10–20, 20–30 आदि एकाइ (unit) का निरन्तर अन्तराल हुन् जसमा हरेक दायरामा पर्ने तथ्यांकहरूको संख्या (frequency) लेखिन्छ। वर्ग अन्तरालहरूको प्रकार एवं गुण अनुसार Mean, Median, Mode, Quartile, Percentile, Decile, Variance, Standard Deviation जस्ता statistical measures निकाल्ने तरिका फरक–फरक हुनसक्छ। उदाहरणका लागि, निरन्तर (continuous) डाटाका लागि exclusive class interval, डिस्क्रिट (discrete) डाटाका लागि inclusive class interval प्रयोग गरिन्छ ।
तल मुख्य वर्ग अन्तरालका प्रकारहरू र तीबाट कुनै–कुनै statistical measures कसरी निकालिन्छन् भनी व्याख्या गरिएको छ।
Types of Class Interval
वर्ग अन्तरालका केही प्रमुख प्रकारहरू यसप्रकार छन्:
- Exclusive Class Interval (बहिष्कृत सीमा): पहिलो वर्गको माथिल्लो सीमा (upper limit) अर्को वर्गको तल्लो सीमाभन्दा नमिलेको (उदाहरण: 10–20, 20–30) स्थिति।
- Inclusive Class Interval (समावेशी सीमा): दुवै सीमा (lower र upper) वर्गमा समावेश हुने (उदाहरण: 0–9, 10–19) स्थिति।
- Equal Class Interval (समउचाइ वर्ग अन्तराल): सबै वर्गहरूको चौडाइ (width) समान हुने।
- Unequal Class Interval (असमउचाइ वर्ग अन्तराल): वर्ग चौडाइ फरक–फरक हुने (उदाहरण: 0–10, 10–20, 20–40, 40–70)।
- Open-ended Class Interval (खुला अन्तरेखा वर्ग): पहिलो वा अन्तिम वर्गको एक सीमा अनिर्दिष्ट हुने (उदाहरण: Below 10000, 40000 and above)।
- Less than Cumulative Frequency (कम से कम संचित आवृत्ति): एउटा प्रतिशत वा मान भन्दामुनि पर्ने डाटाको संचित आवृत्ति तालिका (उदाहरण: Less than 10 = 5, Less than 20 = 13 इत्यादि)।
- More than Cumulative Frequency (वढी या बराबर संचित आवृत्ति): कुनै मानभन्दा माथि (वा बराबर) पर्ने डाटाको संचित आवृत्ति तालिका (उदाहरण: More than 10 = 35, More than 20 = 27 इत्यादि)
Note : Less than र More than तालिका पूर्णत: संचित आवृत्ति (Cumulative Frequency) का रूप हुन् जसको उद्देश्य विशिष्ट मानसम्मका अथवा माथिका डाटाको समग्र संख्या देखाउनु हो
१. Exclusive Class Interval
Exclusive विधिमा हरेक वर्गको माथिल्लो सीमा अर्को वर्गको पहिलो दायरामा पर्दैन। उदाहरणका लागि 10–20 यस्तो समयमा लेखिन्छ जहाँ 10 ≤ x < 20 हुन्छ – अर्थात् 10 अंक पहिलो वर्गमा समावेश भए पनि 20 अंक समावेश हुँदैन। यसमा वर्गहरू निरन्तर (continuous) भएको मानिन्छ र standard grouped–data सूत्रहरू सजिलै लागू गर्न सकिन्छ। यसबाट प्रत्येक मापन (Mean, Median, Mode, Quartiles, Variance, आदि) सबै निकाल्न सकिन्छ, किनकि सबै वर्गको चौडाइ समान या असमान भए पनि सूत्रहरू समान रूपमा प्रयोग हुन्छन्।
विशेषता: निरन्तर आँकडाका लागि उपयुक्त, र समूहबद्ध फारमुला प्रयोग गर्न सहज। उदाहरण स्वरूप मिड–प्वाइन्ट (class midpoint) लिएर mean निकाल्न सकिन्छ।
२. Inclusive Class Interval
Inclusive विधिमा वर्गको तल्लो र माथिल्लो दुवै सीमा वर्गमा समावेश हुन्छन्। जस्तै 0–9, 10–19, 20–29 आदि। यस्तो वर्गीकरण अधिकतर बिन्ती अंक (discrete) डाटाका लागि उपयुक्त मानिन्छ। यस्ता तालिकामा continuous data formula प्रयोग गर्न वर्ग सीमा (class boundaries) मा परिवर्तन गर्नुपर्छ। उदाहरणका लागि, 0–9 वर्गलाई निरन्तरको रूप दिनु परेमा यसको सीमाहरू -0.5 र 9.5 दिइन्छ (१ एकाइ मापदण्डमा correction factor 0.5 प्रयोग गरी)।
उदाहरण: Inclusive C.I. बाट Median निकाल्दा, पहिले वर्ग सीमा परिवर्तन (e.g. 0–9 → –0.5–9.5, 10–19 → 9.5–19.5) गरी continuous फार्मुला प्रयोग गर्नुपर्छ। यदि N=40, तहको N/2=20 हुन्छ र 20 पर्ने वर्ग 20–29 छ भने, यसको continuous सीमा 19.5–29.5 हो। त्यसपछि वर्गको तल्लो सीमा L=19.5, पूर्व–समूह आवृत्ति CF=13, वर्ग आवृत्ति f=12, वर्ग चौडाइ h=10 राखेर माध्यमका लागि फार्मुला लागू गर्दा Median ≈ 25.33 आउँछ।
यसरी Inclusive वर्ग अन्तराल बाट positional measures (Median, Quartiles, Percentiles आदिको लागि) निकाल्न सकिन्छ, तर यसमा सम्पूर्ण श्रेणिका निरन्तर मान्दा सरलीकृत गर्दा वर्ग सीमा परिवर्तन (–0.5 थप्ने/घटाउने) गर्नुपर्ने हुन्छ।
३. Equal Class Interval
सबै वर्गहरूको चौडाइ समान भएको अवस्था Equal Class Interval हो। उदाहरण: 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 जहाँ सबै वर्ग चौडाइ h=10 छ। यस्तो तालिका सामान्यत: समूहबद्ध तथ्याङ्क निकालनको लागि सबैभन्दा सरल हुन्छ। समान चौडाइ भएकाले मिड–प्वाइन्टहरू समान तरिकाले प्रयोग गरेर औसत (mean), विच्यस्तता र अन्य रिपोर्ट सजिलै निकालिन्छ।
४. Unequal Class Interval
वर्गको चौडाइ फरक–फरक भए त्यसलाई Unequal Class Interval भनिन्छ। जस्तै 0–10 (h=10), 10–20 (h=10), 20–40 (h=20), 40–70 (h=30) आदि। यस्तो अवस्थामा मोड (mode) निकाल्न सन्दर्भ वर्ग निर्धारण गर्दा केवल आवृत्ति हेरेर चल्नुहुँदैन; यसका लागि आवृत्ति घनत्व (frequency density) प्रयोग गर्नुपर्छ ताकि भिन्न चौडाइहरू न्यायपूर्ण रूपमा तुलनात्मक बन्न सकोस्। आवृत्ति घनत्व = (frequency) ÷ (class width) हुन्छ। उदाहरणमा माथिको तालिकामा यदि 30–70 वर्ग चौडाइ 40 र आवृत्ति 12 छ भने यसको घनत्व 12/40 हुन्छ। यस्तो गणनाले unequal वर्गहरूलाई समेत तुल्याएर तुलना गर्न सहयोग गर्छ। औसत निकाल्दा पनि mid–poinit हरू समान सूत्रले प्रयोग हुन्छ; तर मोडको लागि आवृत्ति घनत्व अत्यावश्यक हुन्छ।
५. Open-ended Class Interval
जब पहिलो वा अन्तिम वर्गको एउटा सीमा (lower वा upper) असीमित राखिएको हुन्छ, त्यो Open-ended Class Interval हो। उदाहरण: Below 10000, 10000–20000, …, 40000 and above जहाँ 40000 and above को upper सीमा थाहा छैन। यसरी खुला सीमा भएकाले सो वर्गको सठिक मिड–प्वाइन्ट निकाल्न सकिँदैन। त्यसैले Mean, Variance, Standard Deviation जस्ता measures प्रत्यक्ष निकाल्न सम्भव हुँदैन।
तर Median, Quartiles, Percentiles जस्ता क्रमिक (positional) measures निकाल्न खुला वर्गले समस्या गर्दैन जबसम्म मध्य मान पर्ने वर्ग खुला नभएको छ। उदाहरणका लागि माथिको तालिकामा यदि कूल N=40 हो र मिडियन 20, तालिकाबाट M वर्ग 20–30 नै भयो भने Median निकाल्न L=20, पूर्व–समूह CF=13, f=12, h=10 राखेर 25.83 पाउँछौँ। यहाँ खुला–उपान्त वर्ग नभएकाले median निकालिन सक्छ।
महत्त्वपूर्ण: खुला–अन्तिम वर्ग भएकाले औसत तथा विचलन निकाल्न नहुने हुनाले यस्तो डाटामा गणितीय औसतभन्दा median, percentiles आदि उपयुक्त मानिन्छ। वास्तवमा, “Mean cannot be computed for an open-ended frequency distribution” भनि श्रोतहरू बताउँछन्।
६. Less Than Cumulative Frequency
Less Than Cumulative Frequency तालिकामा प्रत्येक वर्गसम्म (upper limit सम्म) परेको आवृत्तिहरू जोडिन्छन्। उदाहरणका लागि वर्ग 0–10, 10–20, 20–30 को frequency क्रमशः 5, 8, 12 भए मा:
| Less than C.I. | गणना | C.F. |
|---|---|---|
| Less than 10 | 5 | 5 |
| Less than 20 | 5+8 | 13 |
| Less than 30 | 13+12 | 25 |
यसरी एउटा वर्गको माथिल्लो सीमा लिएर त्यो सम्मका पूर्वका आवृत्तिहरू जोड्ने हुनाले Less than cumulative निकालिन्छ।
Less–than तालिकाले मध्यमान (median) वा Quartiles, Percentiles आदि निकाल्न मद्दत गर्दछ। उदाहरणको लागि उपरोक्त N=40 मानिएमा N/2=20 हुन्छ र 20 पर्छ वर्ग 20–30 मा (cumulative 13 बाट 25 मा गएर पुर्याउँछ)। त्यसपछि साधारण समूह–माध्यम सूत्र लागू गरेर Median निकाल्न सकिन्छ।
७. More Than Cumulative Frequency
More Than Cumulative Frequency मा तलको सीमा (lower limit) लिएर त्यसभन्दा माथिका आवृत्तिहरू गुणा घटाउँदै जान्छ। उदाहरणका लागि त्यही मूल तालिका (0–10:5, 10–20:8, 20–30:12, 30–40:10, 40–50:5, N=40) बाट:
| More than C.I. | गणना | C.F. |
|---|---|---|
| More than 0 | 40 (Total) | 40 |
| More than 10 | 40–5 | 35 |
| More than 20 | 35–8 | 27 |
| More than 30 | 27–12 | 15 |
| More than 40 | 15–10 | 5 |
| More than 50 | 5–5 | 0 |
ऊपरका तालिकामा More than 0 = 40 (सबै डाटा), त्यसपछि More than 10 = 40-5 = 35, त्यसपछि 27, 15, 5, 0 रुपमा घट्दछ। यसरी Lower limit ले subtract गरेर More than तालिका बनाउँछन्।
Less than र More than दुवै तालिकाले positional measures निकाल्न सजिलो बनाउँछन्। उदाहरणका लागि N/2=20 हुँदा More than तालिकाले देखाउँछ कि पहिलो 20 मध्यमानभन्दा माथि कुन वर्गमा छ। यदि More than 30 = 15 र More than 20 = 27 छन् भने २० यसको भित्र पर्दैन (15 झुक्किन्छ, 27 मुनि, 20 मुनि हुन्छ), जसबाट median class फेरि 20–30 नै पाइन्छ र औसत सूत्रले परिणाम दिन्छ।
८. कुन Class Interval बाट कुन मापन निकाल्न सकिन्छ?
तलको सारणीले विभिन्न वर्ग अन्तराल/संरचना देखि कुन–कुन statistical measures सहजै निकाल्न सकिन्छ भन्दै संकेत गरेको छ (✅ = सजिलै निकाल्न सकिन्छ, ⚠️ = निकाल्न सकिन्छ तर रूपान्तरण अथवा विशेष विधि आवश्यक पर्छ, ✘ = प्रत्यक्ष रूपमा निकाल्न सकिँदैन) :
| Measure / प्रकार | Exclusive | Inclusive | Less than | More than | Open-ended | Unequal |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Mean | ✅ (सिधै) | ⚠️ (सीमा परिवर्तन गर्नुपर्ने) | ⚠️ (पूर्व आवृत्ति चाहिन्छ) | ⚠️ (पूर्व आवृत्ति चाहिन्छ) | ✘ (अन्तराल खुल्ला भएकाले) | ⚠️ (घनत्व आवश्यक) |
| Median | ✅ | ⚠️ (सीमा परिवर्तन) | ✅ | ✅ | ✅ (अबधि मध्यमान वर्ग खुला नभएमा) | ✅ |
| Mode | ✅ | ⚠️ (सीमा परिवर्तन) | ⚠️ (पहिलोमध्येको सर्वाधिक) | ⚠️ (अगाडीको सर्वाधिक) | ⚠️ (अनिश्चित खुला वर्ग) | ⚠️ (घनत्वले निर्धारण) |
| Range | ✅ | ⚠️ (श्रृङ्खला बन्द) | ⚠️ (सीमाशरा चाहिन्छ) | ⚠️ (सीमाशरा चाहिन्छ) | ✘ (खुला सीमाले अधुरो) | ⚠️ |
| Mean Deviation (MD) | ✅ | ⚠️ | ⚠️ | ⚠️ | ✘ | ⚠️ |
| Quartile, Percentile | ✅ | ⚠️ | ✅ | ✅ | ✅ (खुला वर्गको median बाहेक) | ✅ |
| Decile | ✅ | ⚠️ | ✅ | ✅ | ✅ (खुला वर्ग बाहेक) | ✅ |
| Variance, SD | ✅ | ⚠️ | ⚠️ | ⚠️ | ✘ (अन्तराल खुला भएकाले) | ⚠️ |
- Exclusive: निरन्तर तालिका भएकाले सबै मुख्य मापनहरू निकाल्न सकिन्छ।
- Inclusive: मेन, मोड जस्ता गणना गर्दा कक्षा सीमाहरू परिवर्तन गरेर समूह सूत्र प्रयोग गर्नुपर्छ।
- Less/More than: मुख्यत: क्रम–सापेक्ष मापन (Median, Quartiles, Percentiles, Deciles) सजिलै निकाल्न सकिन्छ, तर औसत/विचलनमा विशेष गणना आवश्यक हुन्छ (पहिले साधारण आवृत्ति थाहा गरेर)।
- Open-ended: Median, Quartile इत्यादि positional measures सामान्यत: निकाल्न मिल्छ (खुला वर्गमा नपरेमा) तर औसत/विचलन निकाल्न असम्भव हुन्छ।
- Unequal: मोड लगायतका measures निकाल्न घनत्व (frequency density) प्रयोग गर्नुपर्छ।
मुख्य निष्कर्ष
- वर्ग अन्तरालको प्रकार पहिचान गर्नु आवश्यक: निरन्तर (exclusive) वा समावेशी वर्ग (inclusive) मा फरक फार्मुला छैन, तर inclusive बाट continuous सूत्र प्रयोग गर्दा वर्ग सीमाहरू परिवर्तन गर्नुपर्छ ।
- Less than र More than तालिका: उपयुक्त मानसम्म संचित आवृत्ति गणना गर्दा प्रयोग हुन्छ । विशेषगरी मध्यमान, क्वाटाइल, पर्सेन्टाइल इत्यादि positional measures यसबाट सरलतापूर्वक निकाल्न सकिन्छ।
- उपयुक्त उपाय छान्नु: खुला वर्ग भएको वितरणको लागि औसत/विचलन निकाल्न नमिल्ने हुनाले, यस्ता क्रममा मध्य (median), percentiles जस्ता positional measure प्रयोग गर्ने हुन्छ । असमान चौडाइ भएका वितरणमा मोड जस्ता measures गणना गर्न आवृत्ति घनत्व अनिवार्य छ ।
सारांशमा, वर्ग अन्तरालको प्रकृति (exclusive/inclusive/equal/unequal/open-ended) र सञ्चित आवृत्ति (Less than/More than) को किसिम बुझेपछि, त्यसअनुसारको गुण निकालनु पर्ने हुन्छ। उदाहरणका लागि, Inclusive वर्ग अन्तरालमा क्रमिक मापन (median आदि) निकाल्दा निश्चित विधिले सीमा परिवर्तन गर्नु पर्छ, र Open-ended वितरणमा औसत/विचलन निकाल्न संभव नहुने कुरा ध्यानमा राख्नुपर्छ । यसरी Class Interval को प्रकृति र आवश्यक statistical measure बुझेपछि मात्र सही सूत्र र विधि अपनाएर गणना गर्न सकिन्छ।
प्रतिक्रिया दिनुहोस्
0 प्रतिक्रियाहरू