CPA Model (Concrete–Pictorial–Abstract)
Introduction
गणित शिक्षणमा विद्यार्थीहरूले कुनै पनि नयाँ अवधारणा गहिरोसँग बुझ्नको लागि विश्वभर प्रमाणित र प्रभावकारी मानिने एउटा शिक्षण पद्धति हो — CPA Model, अर्थात् Concrete (ठोस) → Pictorial (चित्रमय) → Abstract (अमूर्त)। यो मोडेल मनोवैज्ञानिक जेरोम ब्रुनरको सिद्धान्तमा आधारित छ, जसले भन्छन् कि सिकाइ सधैं हातले छुन मिल्ने वास्तविक वस्तुबाट सुरु भई, चित्र वा नक्सामा हुँदै, अन्त्यमा मात्र संकेत र सूत्र (गणितीय भाषा) मा पुग्नुपर्छ।
यस लेखमा हामी “सोली (Cone)’’ — जुन गोलाकार आधार भएको पिरामिड हो — भन्ने अवधारणालाई ठ्याक्कै यही CPA Model अनुसार, प्रत्येक चरणलाई विस्तृत रूपमा, दैनिक जीवन र गाउँघरका वास्तविक उदाहरणहरूसँग जोडेर कसरी पढाउने भनेर विस्तारमा हेर्नेछौं।
CPA Model भनेको के हो? (छोटो चिनारी)
| चरण | के गरिन्छ | उद्देश्य |
| C – Concrete (ठोस) | विद्यार्थीले हातले छुन, समाउन, चलाउन मिल्ने वास्तविक वस्तु प्रयोग गर्छन् | प्रत्यक्ष अनुभवबाट अवधारणाको जग बसाल्ने |
| P – Pictorial (चित्रमय) | वास्तविक वस्तुलाई चित्र, तस्बिर, रेखाचित्र वा नक्सा (diagram) मा रूपान्तरण गरिन्छ | ठोस अनुभवलाई दृश्य प्रतिनिधित्वसँग जोड्ने |
| A – Abstract (अमूर्त) | चित्रलाई गणितीय संकेत, सूत्र र संख्यामा बदलिन्छ | दृश्य बुझाइलाई औपचारिक गणितीय भाषामा उतार्ने |
यी तीन चरणहरू क्रमैसँग जाने भएकाले, कुनै पनि चरण नछोडी अघि बढ्दा विद्यार्थीले सोली (Cone) लाई केवल “घोकेर” नभई “बुझेर” सिक्छन्।
Concrete Stage
चरण १: Concrete (ठोस अवस्था) — हातले छोई अनुभव गर्ने
उद्देश्य
यस चरणको मुख्य लक्ष्य भनेको विद्यार्थीलाई सोली (Cone) आकार भनेको के हो भन्ने कुरा कुनै पनि परिभाषा वा सूत्र नदिइकनै, केवल वास्तविक वस्तुहरू छोई, हेरी, तुलना गरी महसुस गराउनु हो।
कक्षामा गर्ने विस्तृत गतिविधिहरू
१.१ घरबाट वास्तविक वस्तु ल्याउने कार्य शिक्षकले अघिल्लो दिन नै विद्यार्थीहरूलाई घरबाट शंकु आकारका वस्तुहरू ल्याउन भन्नुहोस्। गाउँघरमा सजिलै भेटिने र विद्यार्थीले दैनिक देखेका यी वस्तुहरू उदाहरणका लागि उपयुक्त छन्:
- फनेल/सोली / टिप् (तेल, घ्यू वा दूध खन्याउन प्रयोग हुने)
- लट्टू (काठ वा माटोको परम्परागत खेलौना)
- आइसक्रिम कोन
- जन्मदिनको टोपी
- Loudspeaker
- भेडी (धान /गहु राख्न प्रयोग गरिने )
- चिलम ( गाजा पिउन प्रयोग गरिने )
- Cork
- शिकहर
- Traffic Barrier pillar
- घन्टी
- बिडी
- टेन्ट
- पेन्सिल
- गाजर
- गिलास (glass )
१.२ हातले छोई अवलोकन गर्ने (Observation Activity) प्रत्येक विद्यार्थी वा समूहलाई एउटा-एउटा वस्तु दिई तलका प्रश्नमा छलफल गराउनुहोस्:
- यो वस्तुको पिँध (आधार) कस्तो आकारको छ? (गोलो? कुनाकुना भएको?)
- के यसको एउटा मात्र चुच्चो/टुप्पो छ, कि धेरै?
- हात चलाउँदा यो कुन दिशामा साँघुरिँदै जान्छ?
यसरी विद्यार्थीले आफैं “गोलो आधार” र “एउटै टुप्पोमा मिल्ने सतह” भन्ने दुई विशेषता आफैं पत्ता लगाउँछन् — यो नै सोली(cone )को ठोस, अनुभवजन्य बुझाइ हो।
१.३ तुलनात्मक क्रियाकलाप:– वर्गाकार पिरामिड vs बृताकार पिरामिड / सोली(Cone) कक्षामा वर्गाकार आधार भएको पिरामिड (जस्तै घर बनाउने सानो खेलौना, वा कागजले बनाएको पिरामिड) र माथि उल्लेखित बृताकार पिरामिड / सोली(Cone) आकारका वस्तु एकसाथ राखेर विद्यार्थीलाई दुवै छोई तुलना गर्न लगाउनुहोस्। यसले “वर्गाकार पिरामिडको आधार कुनाकुना, सोली(Cone)को आधार गोलो” भन्ने भिन्नता ठोस रूपमा महसुस गराउँछ।
१.४ शैक्षिक आकृति बनाउन प्रयोग हुने नरम पदार्थ /माटो (Playdough/Clay) बाट सोली(cone ) बनाउने सकेसम्म कक्षामा काच्चो माटो (clay/dough) उपलब्ध गराई विद्यार्थीलाई आफैं हातले सोली(Cone) आकार बनाउन लगाउनुहोस्। हातले नै आकार बनाउँदा “आधारदेखि माथि जाँदा साँघुरिँदै गएर एउटै बिन्दुमा मिल्नु” भन्ने प्रक्रिया शरीरैले महसुस हुन्छ।
यस चरणमा शिक्षकले ध्यान दिनुपर्ने कुरा
- यस चरणमा कुनै पनि सूत्र वा “Cone” शब्द समेत नबोलिकन, केवल आकार र अनुभवमा फोकस गर्नुहोस्।
- हरेक विद्यार्थीले कम्तिमा एउटा वस्तु आफैं हातले छुने मौका पाउनुपर्छ — केवल शिक्षकले देखाएर हुँदैन।
Pictorial Stage :
चरण २: Pictorial (चित्रमय अवस्था) — देखेको कुरालाई चित्रमा उतार्ने
उद्देश्य
ठोस वस्तुबाट प्राप्त अनुभवलाई अब विद्यार्थीले चित्र, तस्बिर र रेखाचित्र (diagram) सँग जोड्न सिक्छन्। यो चरणले “वास्तविक वस्तु” र “किताबमा देखिने चित्र” बीचको खाडल पुर्छ।
कक्षामा गर्ने विस्तृत गतिविधिहरू
२.१ वास्तविक वस्तुको तस्बिर देखाउने चरण १ मा प्रयोग गरिएका वस्तुहरूकै वास्तविक तस्बिर (फोटोग्राफ) देखाउनुहोस्, ताकि विद्यार्थीले “यो त मैले भर्खरै हातले छोएको वस्तु नै हो” भनेर चिन्न सकून्।
२.२ प्रकृतिमा भेटिने सोली(cone ) आकारको तस्बिर विद्यार्थीलाई यो बुझाउनुहोस् कि सोली(cone ) आकार केवल मानिसले बनाएको वस्तुमा मात्र होइन, प्रकृतिमा पनि भेटिन्छ — जस्तै ज्वालामुखी पर्वत।
तस्बिर: फिलिपिन्सको मायोन ज्वालामुखी — प्राकृतिक सोली(Cone) आकार (स्रोत: Wikimedia Commons)
परालको छाना भएको गोठ तस्बिर: परालको छाना भएको परम्परागत गोठ/झुपडी — गाउँघरमा भेटिने सोली(cone) आकारको छाना (स्रोत: Wikimedia Commons)
२ .३ Part of cone :
२.४ रेखाचित्र (Line Diagram) मा रूपान्तरण अब शिक्षकले सेतोपाटीमा वा कापीमा सोली(cone )को साधारण रेखाचित्र कोर्नुहोस् — एउटा त्रिभुजजस्तो आकार तर पिँधमा दीर्घवृत्त (ellipse) कोरेर गोलो आधार देखाउने गरी। विद्यार्थीलाई पनि आफ्नो कापीमा यसरी नै कोर्न लगाउनुहोस्, र चित्रमा तलका भागहरू चिन्ह्याउन लगाउनुहोस्:
- आधार (Base)
- शीर्ष/टुप्पो (Apex)
- उचाइ (Height) — थोप्लो रेखाले देखाउने
- तिरछो उचाइ (Slant Height)
२.५ Net (खोलिएको सतह) चित्रण गतिविधि कागजबाट सोली(cone)को “net” (खोलिएको समतल आकार) बनाउने क्रियाकलाप गराउनुहोस्:
- कागजमा एउटा वृत्त कोर्नुहोस् (यो आधार बन्नेछ)।
- अर्को कागजमा वृत्तको एउटा “sector” (कोणीय टुक्रा) कोरी काट्नुहोस्।
- त्यो टुक्रालाई बेरेर शंकु आकार बनाउनुहोस् र वृत्तमा जोड्नुहोस्।
यस गतिविधिले विद्यार्थीलाई “समतल चित्र” र “ठोस आकृति” बीचको सम्बन्ध प्रत्यक्ष देखाउँछ — जुन Pictorial चरणको सबैभन्दा शक्तिशाली उपकरण हो।
२.६ पिरामिडबाट सोली(Cone) सम्मको क्रमिक चित्र शृंखला सेतोपाटीमा वा पोस्टरमा ५ भुजा, ८ भुजा, १२ भुजा, २० भुजा भएका पिरामिडका चित्रहरू क्रमैसँग देखाई, अन्त्यमा सोली(cone)को चित्र राख्नुहोस्। विद्यार्थीले आफ्नै आँखाले देख्न सक्छन् कि भुजा बढ्दै जाँदा आकृति कसरी सोली(cone)तिर परिवर्तन हुन्छ — यसले “सोली(cone) = अनन्त भुजा भएको पिरामिड” भन्ने अवधारणा चित्रमार्फत् नै बुझाउँछ।
यस चरणमा शिक्षकले ध्यान दिनुपर्ने कुरा
- विद्यार्थी आफैंले चित्र कोर्ने र भाग चिन्ह्याउने मौका पाउनुपर्छ, केवल शिक्षकको चित्र हेरेर मात्र पुग्दैन।
- चित्र र वास्तविक वस्तुबीच बारम्बार तुलना गराइरहनुहोस् (“यो चित्रको यो रेखा वास्तविक फनेलको कुन भाग हो?”)।
Abstract Stage:
चरण ३: Abstract (अमूर्त अवस्था) — सूत्र र गणितीय भाषामा उतार्ने
उद्देश्य
अब मात्र विद्यार्थीलाई औपचारिक परिभाषा, संकेत (notation), र सूत्रहरू दिइन्छ। किनभने यसअघि नै उनीहरूले ठोस अनुभव र चित्रमार्फत अवधारणा राम्ररी बुझिसकेका हुन्छन्, सूत्र अब केवल “पहिले नै बुझेको कुरालाई छोटो भाषामा लेख्ने तरिका” जस्तो लाग्छ, जटिल लाग्दैन।
कक्षामा गर्ने विस्तृत गतिविधिहरू
३.१ औपचारिक परिभाषा दिने अब शिक्षकले भन्न सक्नुहुन्छ: – “सोली (cone) भनेको त्यस्तो ठोस आकृति हो जसको आधार वृत्ताकार हुन्छ र वक्र सतह एउटै शीर्ष बिन्दुमा गएर मिल्छ।”
यो परिभाषा अब विद्यार्थीका लागि नयाँ जानकारी होइन — यो त उनीहरूले चरण १ र २ मा आफैं पत्ता लगाएको कुराको मात्र औपचारिक भाषा हो।
३.२ संकेत (Notation) चिनाउने
- आधारको त्रिज्या: r
- उचाइ: h
- तिरछो उचाइ: l (जहाँ l² = r² + h²)
३.३ क्षेत्रफल र आयतनका सूत्रहरू निकाल्ने (Derivation) सूत्र सिधै दिनुभन्दा, सकेसम्म विद्यार्थीलाई आफैं निकाल्न लगाउनुहोस्:
- आधार क्षेत्रफल = πr² (यो त वृत्तको क्षेत्रफल नै हो, जुन उनीहरूले पहिले नै जानेका छन्)
- वक्र सतहको क्षेत्रफल = πrl
- कुल सतह क्षेत्रफल = πr² + πrl = πr(r + l)
- आयतन = (1/3)πr²h
आयतनको सूत्रमा (1/3) किन आउँछ भन्ने कुरा प्रयोगात्मक रूपमा देखाउन सकिन्छ: समान आधार र उचाइ भएको बेलनाकार (cylinder) भाँडामा पानी भरी, त्यही आधार-उचाइ भएको सोली(cone) आकारको भाँडाले कतिपटक खन्याउँदा बेलन भरिन्छ भनेर प्रयोग गराउनुहोस् — उत्तर ठ्याक्कै ३ पटक आउँछ, जसले (1/3) आफैं प्रमाणित हुन्छ।
३.४ व्यावहारिक समस्या समाधान (Word Problems) अब विद्यार्थीलाई वास्तविक सन्दर्भमा आधारित प्रश्न दिनुहोस्, जस्तै:
“एउटा आइसक्रिम कोनको आधारको व्यास ५ से.मी. र उचाइ १० से.मी. छ भने, त्यसमा जम्मा कति आइसक्रिम अटाउँछ (आयतन निकाल्नुहोस्)?”
यस्तो प्रश्नले चरण १ मा छोएको वास्तविक वस्तु (आइसक्रिम कोन) लाई फेरि चरण ३ को अमूर्त गणनासँग जोड्छ — यसरी CPA चक्र पूरा हुन्छ।
३.५ तुलनात्मक सूत्र तालिका
| विशेषता | पिरामिड | सोली (cone) |
| आधारको क्षेत्रफल | बहुभुजको सूत्र अनुसार | πr² |
| आयतन | (1/3) × आधार क्षेत्रफल × उचाइ | (1/3)πr²h |
| सतह क्षेत्रफल | आधार + त्रिभुजाकार पाटाहरूको योग | πr² + πrl |
यसले देखाउँछ कि दुवैको आयतन सूत्रको आधारभूत संरचना [(1/3) × आधार × उचाइ] उस्तै छ — फरक केवल आधारको क्षेत्रफल गणना गर्ने तरिकामा मात्र हो।
यस चरणमा शिक्षकले ध्यान दिनुपर्ने कुरा
- सूत्र घोकाउनुभन्दा पहिले सधैं “किन यस्तो हुन्छ” भनेर प्रयोगात्मक रूपमा देखाउने प्रयास गर्नुहोस्।
- कमजोर विद्यार्थीलाई अलमल भएमा फेरि चरण १ वा २ मा फर्केर वास्तविक वस्तु देखाउन हिचकिचाउनु पर्दैन — CPA Model मा आवश्यकता अनुसार पछाडि फर्किनु सामान्य र स्वीकार्य अभ्यास हो।
पूरा पाठ योजना (एक झलकमा)
| समय | चरण | गतिविधि |
| १०-१५ मिनेट | Concrete | घरबाट ल्याएका फनेल, लट्टू, आइसक्रिम कोन छोई अवलोकन र तुलना |
| १०-१५ मिनेट | Pictorial | तस्बिर देखाउने, रेखाचित्र कोर्ने, net बनाई बेर्ने क्रियाकलाप |
| १५-२० मिनेट | Abstract | परिभाषा, संकेत, सूत्र निकाल्ने र व्यावहारिक प्रश्न समाधान |
| ५-१० मिनेट | पुनरावलोकन | तीनै चरणलाई जोडेर छोटो प्रश्नोत्तर वा quiz |
Conclusion
निष्कर्ष
CPA Model प्रयोग गरेर सोली(cone) पढाउँदा विद्यार्थीले यसलाई कागजी सूत्रका रूपमा मात्र नभई, आफ्नै हातले छोएको, आँखाले देखेको, र अन्त्यमा गणितीय भाषामा व्यक्त गरेको एउटा वास्तविक अनुभवका रूपमा सम्झना गर्छन्। फनेल, लट्टू, आइसक्रिम कोन, र परालको छानाजस्ता गाउँघरमै भेटिने चिजहरूबाट सुरु गरी, चित्र हुँदै सूत्रसम्म पुग्ने यो क्रमबद्ध यात्राले गणितलाई अमूर्त होइन, दैनिक जीवनकै अंश बनाउँछ।
Yes